비압축성 흐름

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1. 개요

비압축성 흐름은 유체 내 밀도가 흐름에 따라 변하지 않는 현상을 의미하며, 유체 속도의 발산이 0이라는 수학적 조건으로 정의된다. 압축률과 연관되어 압축률이 작을수록 비압축성에 가깝다고 할 수 있으며, 솔레노이드장, 라플라스장과도 관계가 있다. 비압축성 흐름은 비압축성 유체와 구분되며, 관련 제약 조건에 따라 비탄성 흐름, 저 마하수 흐름 등으로 확장될 수 있다. 이러한 비압축성 흐름의 방정식을 풀기 위해 다양한 수치적 기법이 개발되었으며, 조선, 항공, 자동차 등 다양한 산업 분야에서 연구 및 활용되고 있다.

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비압축성 흐름
개요
정의	비압축성 흐름은 밀도가 일정한 흐름을 말한다.
설명	압축성 흐름의 해석은 매우 복잡하기 때문에 유체 흐름을 해석할 때 비압축성이라는 가정을 하는 경우가 많다.
특징
밀도	밀도가 일정하다.
압력 변화	압력 변화에 따른 밀도 변화가 무시될 수 있다.
적용 조건
일반적인 조건	유체의 속도가 음속에 비해 매우 느릴 때 (일반적으로 마하 수 0.3 이하)
액체의 경우	액체의 경우, 대부분 비압축성으로 간주할 수 있다.
관련 개념
연속 방정식	연속 방정식은 질량 보존 법칙을 나타내는 방정식이다. 비압축성 흐름의 경우, 연속 방정식은 단순화된다.
나비에-스토크스 방정식	나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 방정식이다. 비압축성 흐름의 경우, 나비에-스토크스 방정식은 단순화된다.
활용
적용 분야	항공 역학 선박 설계 파이프라인 설계 기상학 (일부)
주의 사항
실제 유체	실제 유체는 완전히 비압축성이지 않다. 그러나 특정 조건에서는 비압축성으로 가정하여 계산을 단순화할 수 있다.

2. 비압축성 유동의 정의 및 유도

비압축성 유동은 유체 요소가 이동하면서 부피와 밀도가 변하지 않는 흐름이다.

비압축성 흐름이 되기 위한 기본적인 조건은 밀도가 유체 속도와 함께 이동하는 미소 체적 내에서 일정해야 한다는 것이다. 이 조건은 밀도의 물질 미분이 0이 되어야 한다는 것과 같다.

이 조건을 적용하기에 앞서 질량 보존 법칙을 통해 유도되는 관계식을 살펴볼 필요가 있다. 어떤 영역(컨트롤 볼륨) 안에 있는 유체의 질량은 밀도의 체적 적분을 통해 계산되며, 질량 보존 법칙에 따라 컨트롤 볼륨 내 질량의 시간 변화는 그 경계면을 통과하는 질량 유속과 같아야 한다. 이 질량 유속은 면적분으로 표현되는데, 이 식의 오른쪽에 발산 정리를 적용하여 질량 유속과 밀도의 시간 변화 사이의 관계가 유도된다.

여기서 밀도의 시간 미분은 고정된 위치의 컨트롤 볼륨 내에서의 변화율을 의미하며, 반드시 0이 될 필요는 없다. 우리가 주목해야 할 점은 유체 속도와 함께 이동하는 컨트롤 볼륨의 밀도 변화이며, 유속은 유체 속도와 관련되어 표현된다. 이 식은 연속 방정식이라고 불리며, 밀도의 전미분을 고려하고 연쇄 법칙을 적용하면, 유체와 같은 속도로 움직이는 컨트롤 볼륨을 선택했을 때, 물질 미분을 사용하여 간결하게 표현이 가능하다.

밀도의 시간 미분은 유체가 압축 또는 팽창하는 것을 나타내지만, 비압축성 흐름에서는 이러한 변화가 허용되지 않는다. 따라서 밀도의 물질 미분이 0이 되어야 하며, 이는 유체 속도의 발산이 0이 되어야 하는 것과 같다.

결론적으로, 질량 보존 법칙과 유체와 함께 이동하는 체적 내 밀도가 일정하다는 제약 조건으로부터, 비압축성 흐름의 필요 조건은 유체 속도의 발산이 0이 되는 것임을 알 수 있다.

2. 1. 수학적 정의

비압축성 흐름의 기본 조건은 밀도가 흐름 속도 '''u'''로 움직이는 작은 요소 부피 ''dV'' 내에서 일정하다는 것이다. 수학적으로 이 조건은 밀도의 물질 미분이 0이 되어야 함을 의미한다.

먼저 질량 보존 개념을 적용한다. 질량은 밀도의 부피 적분으로 계산된다.

:

{m} = {\iiint\limits_V\! \rho \,\mathrm{d}V}.

질량 보존은 제어 체적 내부 질량의 시간 미분이 경계면을 통과하는 질량 유속 '''J'''와 같아야 함을 의미한다. 이를 표면 적분으로 나타내면 다음과 같다.

:

{\partial m \over \partial t} = -

여기서 음수 부호는 바깥쪽 흐름이 질량 감소로 이어짐을 나타낸다. 발산 정리를 사용하여 플럭스와 밀도의 편미분 사이의 관계를 도출하면 다음과 같다.

:

{\iiint\limits_V {\partial \rho \over \partial t} \,\mathrm{d}V} =  {- \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{J}\right) \, \mathrm{d}V},

따라서,

:

{\partial \rho \over \partial t} = - \nabla \cdot \mathbf{J}.

밀도의 시간에 대한 편미분이 반드시 0일 필요는 없다. 이는 고정된 위치의 제어 체적 내에서의 변화율을 의미하며, 밀도가 0이 아닌 값으로 유지되는 것은 압축성 유체가 비압축성 흐름을 겪을 수 있음을 보여준다. 중요한 것은 흐름 속도 '''u'''로 이동하는 제어 체적의 밀도 변화이다. 플럭스는 다음 함수를 통해 흐름 속도와 관련된다.

:

{\mathbf{J}} = {\rho \mathbf{u}}.

따라서 질량 보존은 다음을 의미한다.

:

{\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \cdot \left(\rho \mathbf{u} \right)} = {\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \rho \cdot \mathbf{u}} + {\rho \left(\nabla \cdot \mathbf{u} \right)} = 0.

이 관계는 연속 방정식이라고 한다. 전미분을 고려하고 연쇄 법칙을 적용하면,

:

{\mathrm{d}\rho \over \mathrm{d}t} = {\partial \rho \over \partial t} + {\partial \rho \over \partial x} {\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} + {\partial \rho \over \partial y} {\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t} + {\partial \rho \over \partial z} {\mathrm{d}z \over \mathrm{d}t}.

유체와 같은 속도로 이동하는 제어 체적을 선택하면 (즉, (''dx''/''dt'', ''dy''/''dt'', ''dz''/''dt'') = '''u'''), 이 표현은 물질 미분으로 단순화된다.

:

{D \rho \over Dt} = {\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \rho \cdot \mathbf{u}}.

연속 방정식을 사용하면,

:

{D \rho \over Dt} = {- \rho \left(\nabla \cdot \mathbf{u} \right)}.

시간에 따른 밀도 변화는 유체가 압축 또는 팽창했음을 의미한다. 따라서 밀도의 물질 미분이 사라져야 하며, 이는 흐름 속도의 발산이 0이 되어야 함을 의미한다.

:

{\nabla \cdot \mathbf{u}} = 0.

결론적으로, 질량 보존과 유체 이동 부피 내 밀도 일정 조건에서 비압축성 흐름의 조건은 흐름 속도의 발산이 0이 되는 것이다.

2. 2. 유도 과정

비압축성 흐름의 기본 조건은 흐름 속도 '''u'''로 움직이는 작은 유체 요소 부피 ''dV'' 내에서 밀도

\rho

가 일정하다는 것이다. 수학적으로는 밀도의 물질 미분이 0이 되어야 비압축성 흐름이 보장된다.

이 조건을 도입하기 전에 질량 보존 법칙을 적용해야 한다. 질량 ''m''은 밀도

\rho

의 부피 적분으로 계산된다.

:

{m} = {\iiint\limits_V\! \rho\,\mathrm{d}V}.

제어 체적 내부 질량의 시간 미분은 경계면을 통과하는 질량 유속 '''J'''와 같아야 한다. 이를 표면 적분으로 나타내면 다음과 같다.

:

{\partial m \over \partial t} = -

여기서 음수 부호는 바깥쪽 흐름이 시간에 따른 질량 감소를 의미하도록 하기 위함이다. 발산 정리를 사용하여 플럭스와 밀도의 편미분 사이의 관계를 도출하면 다음과 같다.

:

{\iiint\limits_V{\partial\rho\over\partial t}\,\mathrm{d}V} = {- \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}V},

따라서,

:

{\partial\rho\over\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{J}.

밀도의 시간에 대한 편미분이 반드시 0일 필요는 없다. 이는 고정된 위치의 제어 체적 내에서의 변화율을 의미하며, 유체가 제어 체적을 통과하면서 밀도가 변할 수 있기 때문이다. 중요한 것은 흐름 속도 '''u'''로 이동하는 제어 체적의 밀도 변화이다. 플럭스는 다음 함수를 통해 흐름 속도와 관련된다.

:

\mathbf{J} = \rho\mathbf{u}.

따라서 질량 보존은 다음을 의미한다.

:

{\partial\rho\over\partial t} + {\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{u}\right)} = {\partial\rho\over\partial t} + {\nabla\rho\cdot\mathbf{u}} + {\rho\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right)} = 0.

이 식은 연속 방정식이라고 한다. 연쇄 법칙을 적용하여 밀도의 전미분을 구하면 다음과 같다.

:

{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t} = {\partial\rho\over\partial t} + {\partial\rho\over\partial x}{\mathrm{d}x\over\mathrm{d}t} + {\partial\rho\over\partial y}{\mathrm{d}y\over\mathrm{d}t} + {\partial\rho\over\partial z}{\mathrm{d}z\over\mathrm{d}t}.

유체와 같은 속도로 이동하는 제어 체적을 선택하면 (즉, (''dx''/''dt'', ''dy''/''dt'', ''dz''/''dt'') = '''u''') 이 표현은 물질 미분으로 단순화된다.

:

{D\rho\over Dt} = {\partial\rho\over\partial t} + {\nabla\rho\cdot\mathbf{u}}.

연속 방정식을 사용하면,

:

{D\rho\over Dt} = -\rho\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right).

시간에 따른 밀도 변화는 유체가 압축 또는 팽창했음을 의미한다. 이를 금지하면, 밀도의 물질 미분은 0이 되어야 하고, 이는 흐름 속도의 발산이 0이 되어야 함과 동등하다 (0이 아닌 밀도에 대해).

:

\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.

결론적으로, 질량 보존 법칙과 유체 이동 부피 내 밀도 일정 조건으로부터 비압축성 흐름의 조건은 흐름 속도의 발산이 0이 되는 것이다.

3. 압축률과의 관계

일부 분야에서 흐름의 비압축성을 측정하는 지표는 압력 변화에 따른 밀도 변화이며, 이는 압축성을 통해 가장 잘 표현된다. 압축성이 허용할 수 있을 정도로 작으면, 그 흐름은 비압축성으로 간주된다.

3. 1. 압축률의 정의

압축률은 압력 변화에 따른 밀도 변화의 비율을 나타내는 물리량이다. 이는 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

\beta = \frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}p}

압축률이 작으면, 그 흐름은 비압축성으로 간주된다. 압축률이 0이면 비압축성 유체로 정의하기도 한다.^[3]

4. 솔레노이드장 및 라플라스장과의 관계

비압축성 흐름은 솔레노이드 흐름 속도장으로 설명된다. 솔레노이드장은 발산이 0일 뿐만 아니라, 0이 아닌 회전 (즉, 회전 성분)을 갖는다는 의미도 추가로 내포한다.^[1]

4. 1. 솔레노이드장

솔레노이드장은 발산이 0인 벡터장이다. 즉, 벡터장 내에서 솟아나거나(source) 사라지는(sink) 지점이 없다. 비압축성 유동은 솔레노이드장의 한 예시이며, 회전 성분은 존재할 수 있다.^[1]

4. 2. 라플라스장

비압축성 흐름이 비회전인 경우, 흐름 속도장은 라플라스이다. 비압축성 흐름의 속도장은 솔레노이드 벡터장(Solenoidal vector field)이며, 발산이 0(회전은 있어도 됨)인 장이다. 한편 비압축성이면서 회전이 0인 속도장은 라플라스장(Laplacian field)이라고 불린다.

5. 비압축성 유동과 비압축성 물질

비압축성 흐름은 유체를 따라 움직일 때 밀도가 일정하게 유지되는 흐름으로, 밀도의 물질 미분이 0인 흐름으로 정의된다. 물질 미분은 시간에 따른 밀도 변화를 나타내는 '비정상 항' ( $\tfrac{\partial \rho}{\partial t}$ )과 유체가 이동하면서 발생하는 밀도 변화를 나타내는 '이류 항'(또는 대류 항) ( $\mathbf u \cdot \nabla \rho$ )의 두 가지 항으로 구성된다. 비압축성 흐름에서는 이 두 항의 합이 0이 되어야 한다.^[1]

반면, 균질, 비압축성 물질은 전체적으로 밀도가 일정한 물질( $\rho = \text{상수}$ )을 의미한다. 이 경우 밀도의 시간 변화율( $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ )과 공간 변화율( $\nabla \rho = 0$ )이 모두 0이다. 연속 방정식에 따르면 균질 물질은 항상 비압축성 흐름을 겪지만, 그 역은 항상 성립하지 않는다. 즉, 압축성 물질도 흐름에서 압축을 경험하지 않을 수 있다.^[1]

요약하자면, 비압축성 흐름과 비압축성 물질은 서로 다른 개념이다. 비압축성 흐름은 유체의 흐름 특성을, 비압축성 물질은 물질 자체의 속성을 나타낸다.

5. 1. 비압축성 유동

비압축성 유동은 유체 요소의 밀도가 시간에 따라 변하지 않는 유동 현상이다. 이는 밀도가

\rho

로 표현되는 작은 요소 부피, ''dV'' 내에서 일정하게 유지됨을 뜻한다. 물질 미분의 개념을 통해, 밀도의 변화율이 0이 되어야 비압축성 흐름이 보장된다는 것을 수학적으로 나타낼 수 있다.^[1]

이를 설명하기 위해 질량 보존 법칙을 적용하면, 제어 체적 내부 질량의 시간 미분은 경계면을 통과하는 질량 유속 '''J'''와 같아야 한다. 이를 표면 적분으로 표현하고, 발산 정리를 이용하면 플럭스와 밀도의 편미분 사이 관계를 유도할 수 있다.^[1]

:

{\partial \rho \over \partial t} = - \nabla \cdot \mathbf{J}.

여기서 밀도의 시간 편미분이 반드시 0일 필요는 없다는 점에 주목해야 한다. 이는 고정된 위치에서 밀도 변화를 관찰할 때, 유체가 제어 체적을 통과하면서 밀도가 변할 수 있기 때문이다. 즉, 압축성 유체도 비압축성 흐름을 보일 수 있다.^[1]

흐름 속도 '''u'''와 플럭스 '''J'''의 관계 (

\mathbf{J} = \rho \mathbf{u}

)를 질량 보존 식에 대입하고, 곱 규칙을 적용하면 연속 방정식을 얻을 수 있다.^[1]

:

{\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \cdot \left(\rho \mathbf{u} \right)} = {\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \rho \cdot \mathbf{u}} + {\rho \left(\nabla \cdot \mathbf{u} \right)} = 0.

체인 규칙을 이용해 밀도의 전미분을 구하고, 유체와 같은 속도로 움직이는 제어 체적을 고려하면, 이 표현은 물질 미분으로 단순화된다.^[1]

:

{D \rho \over Dt} = {\partial \rho \over \partial t} + {\nabla \rho \cdot \mathbf{u}}.

연속 방정식과 연계하면, 밀도의 물질 미분이 0이 되어야 함을 알 수 있고, 이는 흐름 속도의 발산이 0이 됨을 의미한다.^[1]

:

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0.

결론적으로, 비압축성 흐름은 흐름 속도의 발산이 0인 흐름으로 정의된다. 이는 밀도의 물질 미분이 0임을 의미하며, 물질 요소를 따라갈 때 질량 밀도가 일정하게 유지됨을 뜻한다. 물질 미분은 시간에 따른 밀도 변화를 나타내는 '비정상 항'과, 물질 요소의 이동에 따른 밀도 변화를 나타내는 '이류 항'(또는 대류 항)으로 구성된다. 비압축성 흐름에서는 이 두 항의 합이 0이 되어야 한다.^[1]

한편, 균질, 비압축성 물질은 전체적으로 일정한 밀도를 갖는 물질을 의미하며, 이 경우 밀도의 시간 변화율과 공간 변화율이 모두 0이다. 연속 방정식을 통해 균질 물질은 항상 비압축성 흐름을 겪지만, 그 역은 항상 성립하지 않음을 알 수 있다. 즉, 압축성 물질도 흐름에서 압축을 경험하지 않을 수 있다.^[1]

5. 2. 비압축성 물질

'''균질, 비압축성 물질'''은 전체적으로 균일하고 일정한 밀도를 갖는 물질이다. 이러한 물질의 경우,

\rho = \text{상수}

이다. 이는 다음을 의미한다.

:

\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

그리고

:

\nabla \rho = 0

(독립적으로).

연속 방정식으로부터 다음이 따른다.

:

\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf u \cdot \nabla \rho = 0 \ \Rightarrow\  \nabla \cdot \mathbf u = 0

따라서 균질 물질은 항상 비압축성 흐름을 겪지만, 그 반대는 성립하지 않는다. 즉, 압축성 물질은 흐름에서 압축을 경험하지 않을 수 있다.

많은 문헌에서 비압축성 흐름에서는 그 밀도를 일정하다고 하는데, 이는 기술적으로는 정확하지 않지만 관례적으로 행해진다. 비압축성 흐름을 가정하고, 추가로 비압축성 물질을 가정하면 운동 방정식에서 동점성 계수를 일정하다고 간주할 수 있다는 장점이 있다. 위의 엄밀함은 종종 혼란의 원인이 되는데, 따라서 역학에 대해 기술할 때, 많은 경우 비압축성 물질 또는 일정 부피 흐름이라고 명시적으로 말하는 것이 선호된다.

6. 관련 유동 제약 조건

유체 역학에서는 흐름 속도의 발산이 0일 경우 비압축성으로 간주되지만, 모델링되는 흐름 시스템에 따라 관련된 여러 공식들이 사용될 수 있다.

비압축성 흐름: $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$이다. 이는 상수 밀도(엄격한 비압축성) 또는 가변 밀도 흐름을 가정할 수 있다. 가변 밀도 조건에서는 밀도, 압력 및/또는 온도 필드의 작은 섭동을 포함하는 해를 허용하며, 영역 내 압력의 성층화를 허용한다.

비탄성 흐름: $\nabla \cdot (\rho_o \mathbf{u}) = 0$이다. (하위 섹션에서 이미 자세히 설명됨)

낮은 마하수 흐름 또는 의사 비압축성: $\nabla \cdot (\alpha \mathbf{u}) = \beta$이다. (하위 섹션에서 이미 자세히 설명됨)

이러한 방법들은 흐름에 대해 서로 다른 가정을 하지만, 일반적인 형태인 $\nabla \cdot (\alpha \mathbf{u}) = \beta$ ($\alpha$와 $\beta$는 흐름 종속 함수)로 표현될 수 있다.

6. 1. 비탄성 흐름 (Anelastic Flow)

주로 대기 과학 분야에서 사용되는 비탄성 흐름은 비압축성 유동 조건을 확장한 개념으로, 밀도, 온도뿐만 아니라 압력의 성층화를 고려한다.^[1] 이를 통해 열역학적 변수가 하부 대기에서 보이는 '대기' 기본 상태로 완화될 수 있어 기상학 분야 등에서 사용된다. 이 조건은 다양한 천체 물리학 시스템에도 적용 가능하다.^[1]

수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

:

{\nabla \cdot \left(\rho_{o}\mathbf u\right) = 0}

여기서

\rho_{o}

는 기본 상태 밀도,

\mathbf u

는 유속 벡터이다.

6. 2. 저 마하수 흐름 (Low Mach Number Flow) / 의사 비압축성 (Pseudo-incompressible)

압축성 오일러 방정식에서 차원 해석을 통해 유도되며, 음파를 제거하고 밀도 및 온도의 큰 변화를 허용하는 조건이다. 흐름이 유효하기 위해서는 마하 수가 일정 값(일반적으로 0.3 미만) 이하로 유지되어야 한다는 가정이 있다. 또한, 모든 비압축성 흐름과 마찬가지로 압력 편차는 압력 기저 상태에 비해 작아야 한다.^[2]^[6]

7. 비압축성 유동의 수치적 근사 해법

비압축성 유동 방정식의 엄밀한 성질 때문에, 이를 해결하기 위한 특별한 수학적 기법들이 개발되었다.^[1] 여기에는 다음 방법들이 포함된다.

사영법
인공 압축성 기법
압축성 사전 조건화

7. 1. 사영법 (Projection Method)

사영법은 압력-속도 연성(coupling) 문제를 해결하기 위한 방법이다.^[1]

7. 2. 인공 압축성 기법 (Artificial Compressibility Method)

사영법과 함께 비압축성 방정식에 인위적인 압축성 항을 추가하여 해를 구하는 방법이다.^[1]

7. 3. 압축성 프리컨디셔닝 (Compressibility Preconditioning)

수치적 해의 수렴성을 개선하기 위한 기법이다.^[1]

8. 한국의 비압축성 유동 연구 및 활용

비압축성 유동은 한국의 조선, 항공, 자동차 산업에서 유체역학적 설계를 위해 중요하게 연구되고 있다.

참조

_[1] 논문 Improving the Anelastic Approximation http://ams.allenpres[...]
_[2] 논문 Low Mach Number Modeling of Type Ia Supernovae. I. Hydrodynamics http://seesar.lbl.go[...] 2008-12-04
_[3] 서적 流体力学培風館
_[4] 서적 流体力学（前編）裳華房
_[5] 논문 Improving the Anelastic Approximation http://journals.amet[...]
_[6] 논문 Low Mach Number Modeling of Type Ia Supernovae. I. Hydrodynamics http://seesar.lbl.go[...]

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